\input style \chapnotrue\chapno=3\subchno=3\subsubchno=1 йфш \dfn{ьнрйтйюеулха жхолгйа тбуртедемеойс~$F_n(x)$:} $$ F_n(x)={\hbox{юйумп фблйи $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$, лпфптще~$\le x$} \over n}. \eqno(10) $$ Об тйу.~4 рплбъбощ фтй ьнрйтйюеулйе жхолгйй тбуртедемеойс (четфйлбмшоще мйойй, уфтпзп зпчптс, ое счмсафус юбуфша зтбжйлб~$F_n(x)$). Фбн це йъпвтбцеощ й йуфйооще жхолгйй тбуртедемеойс~$F(x)$. Ртй хчемйюеойй~$n$ жхолгйй~$F_n(x)$ дпмцощ чуе впмее фпюоп брртплуйнйтпчбфш~$F(x)$. Лтйфетйк Лпмнпзптпчб---Унйтопчб (ЛУ-лтйфетйк) нпцоп йурпмшъпчбфш ч феи умхюбси, лпздб жхолгйс~$F(x)$ ое йнееф улбюлпч. По пуопчбо об \emph{тбъопуфй нецдх~$F(x)$ й~$F_n(x)$.} Рмпипк дбфюйл умхюбкощи юйуем вхдеф дбчбфш ьнрйтйюеулйе жхолгйй тбуртедемеойс, рмпип брртплуйнйтхаэйе~$F(x)$. Об тйу.~4,~b ртйчедео ртйнет, лпздб ъобюеойс~$X_i$ умйылпн чемйлй, фбл юфп лтйчбс ьнрйтйюеулпк жхолгйй тбуртедемеойс ртпипдйф умйылпн ойълп. Об тйу.~4,~c ртедуфбчмео еэе ихдыйк умхюбк; суоп, юфп фблйе впмшыйе тбуипцдеойс нецдх~$F_n(x)$ й~$F(x)$ лтбкое нбмпчетпсфощ; ЛУ-лтйфетйк дпмцео хлбъбфш, обулпмшлп пой нбмпчетпсфощ. Дмс ьфпзп жптнйтхафус умедхаэйе уфбфйуфйлй: $$ \eqalign{ K_n^+&=\sqrt{n}\max_{-\inftyF$, б~$K_n^-$---лблпчп нблуйнбмшопе пфлмпоеойе дмс умхюбс~$F_n30$ ртйчедеощ фептефйюеулй ое пвпуопчбооще йофетрпмсгйпооще жптнхмщ, фпюоще фпмшлп ртй~$n=\infty$)} } & p=99\% & p=95\% & p=75\% & p=50\% & p=25\% & p=5\% & p=1\%\cr n=1 & 0.01000 & 0.05000 & 0.2500 & 0.5000 & 0.7500 & 0.9500 & 0.9900\cr n=2 & 0.01400 & 0.06749 & 0.2929 & 0.5176 & 0.7071 & 1.0980 & 1.2728\cr n=3 & 0.01699 & 0.07919 & 0.3112 & 0.5147 & 0.7539 & 1.1017 & 1.3589\cr n=4 & 0.01943 & 0.08789 & 0.3202 & 0.5110 & 0.7642 & 1.1304 & 1.3777\cr n=5 & 0.02152 & 0.09471 & 0.3249 & 0.5245 & 0.7674 & 1.1392 & 1.4024\cr n=6 & 0.02336 & 0.1002 & 0.3272 & 0.5319 & 0.7703 & 1.1463 & 1.4144\cr n=7 & 0.02501 & 0.1048 & 0.3280 & 0.5364 & 0.7755 & 1.1537 & 1.4246\cr n=8 & 0.02650 & 0.1086 & 0.3280 & 0.5392 & 0.7797 & 1.1586 & 1.4327\cr n=9 & 0.02786 & 0.1119 & 0.3274 & 0.5411 & 0.7825 & 1.1624 & 1.4388\cr n=10 & 0.02912 & 0.1147 & 0.3297 & 0.5426 & 0.7845 & 1.1658 & 1.4440\cr n=11 & 0.03028 & 0.1172 & 0.3330 & 0.5439 & 0.7863 & 1.1688 & 1.4484\cr n=12 & 0.03137 & 0.1193 & 0.3357 & 0.5453 & 0.7880 & 1.1714 & 1.4521\cr n=15 & 0.03424 & 0.1244 & 0.3412 & 0.5500 & 0.7926 & 1.1773 & 1.4606\cr n=20 & 0.03807 & 0.1298 & 0.3461 & 0.5547 & 0.7975 & 1.1839 & 1.4698\cr n=30 & 0.04354 & 0.1351 & 0.3509 & 0.5605 & 0.8036 & 1.1916 & 1.4801\cr & 0.07089 & 0.1601 & 0.3793 & 0.5887 & 0.8326 & 1.2239 & 1.5174 \cr n>30 & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.14\over \sqrt n} & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.16\over \sqrt n} & -{0.17\over \sqrt n} & -{0.20\over \sqrt n}\cr } дмс чуеи~$n$, фбл юфп ЛУ-лтйфетйк нпцоп ртйнеосфш ртй мавпн~$n$. Жптнхмщ~(11) ое зпдсфус дмс нбыйоощи тбуюефпч, фбл лбл фтевхефус пфщулбфш нблуйнбмшопе утедй веулпоеюопзп нопцеуфчб юйуем! Пдоблп фпф жблф, юфп~$F(x)$---оехвщчбаэбс жхолгйс, a $F_n(x)$~йнееф лпоеюопе юйумп улбюлпч, рпъчпмсеф пртедемйфш уфбфйуфйлй~$K_n^+$ й~$K_n^-$ у рпнпэша умедхаэезп ртпуфпзп бмзптйфнб: {\sl Ыбз~1.\/} Пртедемсафус чщвптпюоще ъобюеойс~$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$. {\sl Ыбз~2.\/} Ъобюеойс~$X_i$ тбурпмбзбафус ч рптсдле чпътбуфбойс фбл, юфпвщ~$X_1\le X_2 \le \ldots \le X_n$. (Ьжжелфйчоще бмзптйфнщ, уптфйтпчлй вхдхф тбуунпфтеощ ч зм.~5.) %% 64 {\sl Ыбз~3.\/}~Охцоще обн уфбфйуфйлй чщюйумсафус феретш рп жптнхмбн $$ \eqalign{ K_n^+&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left({j\over n}-F(X_j)\right),\cr K_n^-&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left(F(X_j)-{j-1\over n}\right).\cr } \eqno(13) $$ Удембфш обдмецбэйк чщвпт юйумб йурщфбойк~$n$ ч дбоопн умхюбе оеулпмшлп мезюе, юен ртй тбвпфе у лтйфетйен~$\chi^2$, ипфс оелпфптще фтхдопуфй упитбосафус. Еумй йуфйоопе тбуртедемеойе умхюбкощи чемйюйо~$X_j$ ое пфчеюбеф жхолгйй~$F(x)$, б прйущчбефус лблпк-фп дтхзпк жхолгйек~$G(x)$, рпфтевхефус утбчойфемшоп нопзп йурщфбойк, юфпвщ хдпуфпчетйфшус, юфп~$G(x)\ne F(x)$; $n$~дпмцоп вщфш обуфпмшлп впмшыйн, юфпвщ уфбмп ъбнефощн тбъмйюйе нецдх~$G_n(x)$ й~$F_n(x)$. У дтхзпк уфптпощ, ртй впмшыйи~$n$ йнеефус феодеогйс л путедоеойа мплбмшощи пфлмпоеойк пф умхюбкопзп рпчедеойс. Фблйе пфлмпоеойс пупвеооп оецембфемшощ ч впмшыйоуфче ртймпцеойк умхюбкощи юйуем ртй тбвпфе об чщюйумйфемшощи нбыйоби. У ьфпк фпюлй ътеойс вщмп вщ рпмеъоп \emph{хнеошыйфш}~$n$. Фпф жблф юфп чуе $n$~теъхмшфбфпч йурщфбойк обдп ъбрпнойфш, юфпвщ рпфпн тбурпмпцйфш ч рптсдле чпътбуфбойс, фблце улмпосеф обу л нщумй хнеошыйфш~$n$. Ч лбюеуфче лпнртпнйууопзп теыеойс нпцоп чъсфш~$n$ тбчощн, улбцен, $1000$ й чщюйумйфш дпуфбфпюоп нопзп ъобюеойк~$K_{1000}^+$ у йурпмшъпчбойен тбъощи юбуфек умхюбкопк рпумедпчбфемшопуфй: $$ K_{1000}^+(1), \quad K_{1000}^+(2), \quad \ldots, \quad K_{1000}^+(r). \eqno(14) $$ Л \emph{ьфйн} юйумбн нпцоп \emph{прсфш} ртйнеойфш ЛУ-лтйфетйк. Феретш хце $F(x)$---жхолгйс тбуртедемеойс дмс~$K_{1000}^+$, ртйюен поб пртедемсефус ьнрйтйюеулпк жхолгйек тбуртедемеойс~$F_r(x)$, рпуфтпеоопк рп умхюбкощн ъобюеойсн~(14). Л уюбуфша, жхолгйс тбуртедемеойс~$F(x)$ пюеош ртпуфб: ртй впмшыйи ъобюеойси~$n$, обртйнет $n=1000$, тбуртедемеойе дмс~$K_n^+$ иптпып брртплуйнйтхефус жхолгйек $$ F_{\infty}(x)=1-e^{-2x^2}, \rem{$x \ge 0$}. \eqno(15) $$ Чуе улбъбоопе пфопуйфус й л~$K_n^-$, фбл лбл~$K_n^+$ й~$K_n^-$ чедхф уевс пдйоблпчп. \emph{Фблпк рпдипд, лпздб уобюбмб лтйфетйк нопзплтбфоп ртйнеосефус ртй пфопуйфемшоп оевпмшыйи~$n$, б ъбфен чуе теъхмшфбфщ лпнвйойтхафус, рпуме юезп ЛУ-лтйфетйк ртйнеосефус рпчфптоп, рпъчпмсеф чщсчйфш лбл мплбмшоще, фбл й змпвбмшоще пфлмпоеойс пф ъбдбоопзп ъблпоб тбуртедемеойс.} Рпмощк ьлуретйнеоф (ипфс зптбъдп неошыезп пвRенб) вщм ртпчедео бчфптпн ч ипде тбвпфщ обд обуфпсэек змбчпк. Феуф "обйвпмшыее йъ~5", прйубоощк ч умедхаэен тбъдеме, ртйнеосмус л~$1000$ тбчопнетоп тбуртедемеоощи умхюбкощи юйуем. Рпмхюймпуш %% 65 200~юйуем $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_{200}$, пфопуйфемшоп лпфптщи ртедрпмбзбмпуш, юфп пой тбуртедемеощ ч уппфчефуфчйй у жхолгйек~$F(x)=x^5$ ($0\le x \le 1$). Чуе теъхмшфбфщ вщмй тбъдемеощ об 20~зтхрр рп 10~юйуем, й дмс лбцдпк зтхррщ чщюйумсмбуш уфбфйуфйлб~$K_{10}^+$. Рп рпмхюеоощн фблйн пвтбъпн 20~ъобюеойсн~$K_{10}^+$ вщмй рпуфтпеощ ьнрйтйюеулйе тбуртедемеойс, йъпвтбцеооще об тйу.~4; змбдлйе лтйчще уппфчефуфчхаф ртедрпмбзбенпк жхолгйй тбуртедемеойс дмс уфбфйуфйлй~$K_{10}^+$. Об тйу.~4,~a ртедуфбчмеоп ьнрйтйюеулпе тбуртедемеойе дмс~$K_{10}^+$, уппфчефуфчхаэее рпумедпчбфемшопуфй умхюбкощи юйуем $$ \eqalign{ Y_{n+1}&=(3141592653Y_n+2718281829) \bmod 2^{35},\cr U_n&=Y_n/2^{35}.\cr } $$ Ьфх рпумедпчбфемшопуфш нпцоп ртйъобфш хдпчмефчптйфемшопк. Тйу.~4,~b уппфчефуфчхеф рпумедпчбфемшопуфй, рпмхюеоопк нефпдпн Жйвпобююй; ъдеуш обвмадбафус пфлмпоеойс \emph{змпвбмшопзп} ибтблфетб, ф.~е.\ нпцоп рплбъбфш, юфп ъобюеойс~$X_n$ дмс феуфб "обйвпмшыее йъ~5" ое рпдюйосафус тбуртедемеойа~$F(x)=x^5$. Об тйу.~4,~c ртйчедеощ теъхмшфбфщ ртпчетлй рпумедпчбфемшопуфй, рпмшъхаэекус умбчпк умбвпзп бмзптйфнб: $$ Y_{n+1}=((2^{18}+1)Y_n+1)\bmod 2^{35}, \quad U_n=Y_n/2^{35}. $$ Теъхмшфбфщ ртйнеоеойс ЛУ-лтйфетйс л ьфйн дбоощн вщмй хце ртйчедеощ ч~(12). Пвтбэбсуш л фбвм.~2 у~$n=20$, рпмхюбен, юфп ъобюеойс~$K_{20}^+$ й~$K_{20}^-$ ч умхюбе~(b) умезлб рпдпътйфемшощ (пой рпрбдбаф рпюфй об~$95\hbox{-}$ й~$12\%\hbox{-още}$ хтпчой), оп ое обуфпмшлп рмпий, юфпвщ нпцоп вщмп у хчетеоопуфша пфвтпуйфш ьфх рпумедпчбфемшопуфш. Ъобюеойе~$K_{20}^-$ дмс умхюбс~(c), веъхумпчоп, ойлхдб ое зпдйфус, фбл юфп феуф "обйвпмшыее йъ~5" пртедемеооп дплбъщчбеф оертйзпдопуфш ьфпзп дбфюйлб умхюбкощи юйуем. Ч прйубоопн ьлуретйнеофе ЛУ-лтйфетйк дпмцео чщсчмсфш змпвбмшоще пфлмпоеойс пф умхюбкопзп рпчедеойс ихце, юен мплбмшоще, фбл лбл лбцдбс зтхррб упуфпсмб чуезп йъ 10~йурщфбойк. Еумй вщ вщмп чъсфп 20~зтхрр рп 1000~йурщфбойк, пфлмпоеойе ч умхюбе~(b) вщмп вщ впмее ъобюйфемшощн. Дмс йммауфтбгйй ьфпзп ЛУ-лтйфетйк вщм ртйнеоео \emph{утбъх} лп чуен дбоощн, рп лпфптщн рпуфтпеощ зтбжйлй об тйу.~4. Ртй ьфпн рпмхюймйуш умедхаэйе теъхмшфбфщ: $$ \matrix{ & a & b & c \cr K_{200}^+ & 0.477 & 1.537 & 2.819 \cr K_{200}^- & 0.817 & 0.194 & 0.058 \cr } \eqno(16) $$ Феретш хце уп чуек пртедемеоопуфша чщсчймйуш змпвбмшоще пфлмпоеойс пф ъбдбоопзп ъблпоб тбуртедемеойс, лпфптщк дбеф нефпд Жйвпобююй. Мплбмшоще пфлмпоеойс ч умхюбе~(c) улбъщчбафус чрмпфш дп~$n=1\,000\,000$, фбл юфп ртй~$n=200$ зпчптйфш п змпвбмшощи пфлмпоеойси ое ртйипдйфус. %% 66 Лтйфетйк Лпмнпзптпчб---Унйтопчб ъблмаюбефус, фблйн пвтбъпн, ч умедхаэен. У рпнпэша $n$~\emph{оеъбчйуйнщи йурщфбойк} рпмхюбафус ъобюеойс~$X_1$,~\dots, $X_n$ умхюбкопк чемйюйощ у \emph{оертетщчопк} жхолгйек тбуртедемеойс~$F(x)$. ($F(x)$~дпмцоб вщфш фйрб жхолгйк, йъпвтбцеоощи об тйу.~3,~b й~3,~c, ф.~е.\ веъ улбюлпч лбл об тйу.~3,~a.) Ъбфен у рпнпэша ртпгедхтщ, прйубоопк ретед жптнхмпк~(13), чщюйумсафус уфбфйуфйлй~$K_n^+$ й~$K_n^-$. Ьфй уфбфйуфйлй дпмцощ вщфш тбуртедемеощ ч уппфчефуфчйй у фбвм.~2. Феретш нпцоп утбчойфш лтйфетйй Лпмнпзптпчб---Унйтопчб й~$\chi^2$. Ртецде чуезп умедхеф ъбнефйфш, юфп ЛУ-лтйфетйен нпцоп рпмшъпчбфшус \emph{ч упюефбойй у} лтйфетйен~$\chi^2$, юфпвщ рпмхюйфш мхюыха ртпгедхтх, юен нефпд ad hoc, хрпнсохфщк ртй ъбчетыеойй прйубойс лтйфетйс~$\chi^2$. (Ьфп ъобюйф, юфп ухэеуфчхеф впмее упчетыеоощк урпупв, оецемй ртпчедеойе фтеи ртпчетпл, юфпвщ чщсуойфш, лбл нопзп теъхмшфбфпч плбцхфус "рпдпътйфемшощнй".) Ртедрпмпцйн, юфп у рпнпэша лтйфетйс~$\chi^2$ вщмй оеъбчйуйнп пвтбвпфбощ, улбцен, 10~тбъощи хюбуфлпч умхюбкопк рпумедпчбфемшопуфй, ч теъхмшфбфе юезп вщмй рпмхюеощ ъобюеойс~$V_1$, $V_2$,~\dots, $V_{10}$. Пвщюощк рпдуюеф лпмйюеуфчб рпдпътйфемшоп впмшыйи ймй нбмщи ъобюеойк~$V$---ое мхюыйк урпупв бобмйъб (ипфс ч ьлуфтенбмшощи умхюбси по вхдеф тбвпфбфш, й \emph{пюеош} впмшыйе ймй \emph{пюеош} нбмще ъобюеойс нпзхф умхцйфш хлбъбойен об фп, юфп дбообс рпумедпчбфемшопуфш упдетцйф умйылпн нопзп мплбмшощи пфлмпоеойк). Ъобюйфемшоп мхюые рпуфтпйфш рп ьфйн 10~ъобюеойсн ьнрйтйюеулха жхолгйа тбуртедемеойс й утбчойфш ее у фептефйюеулпк жхолгйек тбуртедемеойс, лпфптха нпцоп рпмхюйфш у рпнпэша фбвм.~1. Рпуме пртедемеойс уфбфйуфйл~$K_{10}^+$ й~$K_{10}^-$ жптнйтхефус плпоюбфемшопе ухцдеойе пв йуипде ртпчетлй рпумедпчбфемшопуфй у рпнпэша лтйфетйс~$\chi^2$. Ртй~10 ймй дбце 100~ъобюеойси чуе ьфп мезлп нпцоп удембфш чтхюоха, йурпмшъхс зтбжйюеулйе нефпдщ; ртй впмшыен юйуме ъобюеойк~$V$ рпфтевхефус рпдртпзтбннб дмс нбыйоопзп тбуюефб тбуртедемеойс~$\chi^2$. Пфнефйн, юфп \emph{чуе 20~фпюел об тйу.~4,~c рпрбдбаф ч йофетчбм нецдх $5\hbox{-}$ й~$95\%\hbox{-ощнй}$ хтпчоснй,} фбл юфп \emph{лбцдбс} йъ ойи ч пфдемшопуфй ое нпцеф тбуунбфтйчбфшус лбл рпдпътйфемшобс; пдоблп ухннбтопе ьнрйтйюеулпе тбуртедемеойе счоп ое упчрбдбеф у фептефйюеулйн. Чбцопе тбъмйюйе нецдх лтйфетйснй Лпмнпзптпчб---Унйтопчб й~$\chi^2$ ъблмаюбефус ч фпн, юфп ретчщк йъ ойи ртйнеосефус л тбуртедемеойсн, ое йнеаэйн улбюлпч, ч фп чтенс лбл чфптпк---л лхупюоп рпуфпсоощн тбуртедемеойсн (фбл лбл чуе теъхмшфбфщ демсфус об $k$~лбфезптйк). Фблйн пвтбъпн, пвмбуфй ртймпцеойс ьфйи лтйфетйеч тбъмйюощ. Ртбчдб, лтйфетйк~$\chi^2$ нпцоп ртйнеосфш й дмс оертетщчощи тбуртедемеойк, еумй тбъдемйфш чуа пвмбуфш пртедемеойс~$F(x)$ об $k$~юбуфек й ртеоевтеюш чбтйбгйснй ч ртедемби лбцдпзп йофетчбмб. Еумй, обртйнет, нщ ипфйн чщсуойфш, тбуртедемеощ мй ъобюеойс~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$ тбчопнетоп нецдх %% 67 охмен й едйойгек, ф.~е.\ уппфчефуфчхеф мй йи тбуртедемеойе жхолгйй~$F(x)=x$ ртй~$0\le x \le 1$, вхдеф еуфеуфчеооп ртйнеойфш ЛУ-лтйфетйк. Оп нпцоп фблце тбъдемйфш йофетчбм пф~$0$ дп~$1$ об~$k=100$ тбчощи юбуфек, рпдуюйфбфш, улпмшлп ч лбцдха йъ ойи рпрбдбеф ъобюеойк~$U$, рпуме юезп йурпмшъпчбфш лтйфетйк~$\chi^2$ у 99~уфереоснй учпвпдщ. Ч обуфпсэее чтенс ое ухэеуфчхеф дпуфбфпюоп пртедемеоощи фептефйюеулйи теъхмшфбфпч, рпъчпмсаэйи утбчойчбфш ьжжелфйчопуфй ьфйи дчхи лтйфетйеч. Бчфпт пвобтхцйм ртйнетщ, ч лпфптщи ЛУ-лтйфетйй чщсчмсм пфлмпоеойс пф умхюбкопуфй впмее счуфчеооп, юен лтйфетйк~$\chi^2$, б фблце й ртйнетщ ртпфйчпрпмпцопзп ибтблфетб. Еумй, обртйнет, йофетчбмщ, об лпфптще тбъвйчбефус ртпнецхфпл~$(0, 1)$, ртпохнетпчбощ пф~$0$ дп~$99$ й пфлмпоеойс пф утедойи ъобюеойк рпмпцйфемшощ ч йофетчбмби~$0$--$49$ й пфтйгбфемшощ ч йофетчбмби~$50$--$99$, фп ьнрйтйюеулбс жхолгйс тбуртедемеойс вхдеф ъобюйфемшоп дбмшые пф~$F(x)$, юен нпцоп вщмп вщ ртедрпмпцйфш рп ъобюеойа~$\chi^2$. Оп еумй пфлмпоеойс рпмпцйфемшощ ч йофетчбмби~$0$, $2$,~\dots, $98$ й пфтйгбфемшощ ч йофетчбмби~$1$, $3$,~\dots, $99$, фп ьнрйтйюеулбс жхолгйс тбуртедемеойс вхдеф зптбъдп вмйце л~$F(x)$. Пфуадб чйдоп, юфп ибтблфет тезйуфтйтхенщи пфлмпоеойк оеулпмшлп тбъмйюео. Дмс $200$~юйуем, рп лпфптщн рпуфтпеощ зтбжйлй об тйу.~4, лтйфетйк~$\chi^2$ у~$k=10$ дбеф ъобюеойс~$V$, тбчоще~$9.4$, $17.7$ й~$39.3$; ч ьфпн лполтефопн умхюбе рпмхюеооще ъобюеойс чрпмое утбчойнщ у фенй, лпфптще дбеф ЛУ-лтйфетйк (ун.~(16)). Дмс оертетщчощи тбуртедемеойк ЛУ-лтйфетйк пвмбдбеф пртедемеоощнй ртейнхэеуфчбнй, фбл лбл лтйфетйк~$\chi^2$ рп пртедемеойа йнееф ртйвмйцеоощк ибтблфет й фтевхеф пфопуйфемшоп впмшыйи ъобюеойк~$n$. Йофетеуоп фблце рпунпфтефш, лбл йънеосфус теъхмшфбфщ ртпчетлй ыеуфй тбъощи дбфюйлпч умхюбкощи юйуем, ртйчедеооще об тйу.~2, еумй чнеуфп лтйфетйс~$\chi^2$ йурпмшъпчбфш ЛУ-лтйфетйк. Ьфй теъхмшфбфщ вщмй рпмхюеощ дмс~$n=200$ у рпнпэша лтйфетйс "обйвпмшыее йъ~$t$" ртй~$1\le t \le 5$; ртпнецхфпл~$(0, 1)$ тбъдемсмус об~$10$~тбчощи юбуфек. Рп ойн нпцоп чщюйумйфш уфбфйуфйлй~$K_{200}^+$ й~$K_{200}^-$ й рпмхюеооще теъхмшфбфщ ртедуфбчйфш ч фпн це чйде, лбл об тйу.~2 (пфнеюбс, лблйе ъобюеойс чщипдсф ъб хтпчеош~$99\%$ й~ф.~д.). Ьфп удембоп об тйу.~5. Пфнефйн, юфп дбфюйл~D (нефпд Менетб), ухдс рп тйу.~5, чеушнб рмпи, ч фп чтенс лбл теъхмшфбфщ пвтбвпфлй \emph{феи це убнщи дбоощи} рп лтйфетйа~$\chi^2$ ое пвобтхцймй ойлблйи пфлмпоеойк. Дбфюйл~E (нефпд Жйвпобююй), обпвптпф, об тйу.~5 чщзмсдйф оеулпмшлп мхюые. Иптпыйе дбфюйлй~A й~B хдпчмефчптсаф чуен лтйфетйсн. Ртйюйощ тбуипцдеойк нецдх тйу.~2 й~5 ъблмаюбафус ч ретчха пюетедш ч фпн, юфп (a)~юйумп йурщфбойк~$200$ об убнпн деме оедпуфбфпюоп чемйлп; (b)~тбъдемеойе теъхмшфбфпч об "оезпдоще", "рпдпътйфемшоще" й "умезлб рпдпътйфемшоще" убнп рп уеве дпчпмшоп рпдпътйфемшоп. (Вщмп вщ оеуртбчедмйчпуфша пвчйосфш Менетб ч фпн, юфп по %% 68 йурпмшъпчбм ч 1948~з.\ "рмпипк" дбфюйл умхюбкощи юйуем, рпфпнх юфп ч дбоопн лполтефопн умхюбе ьфп вщмп чрпмое ъблпооп. Нбыйоб ENIAC тбвпфбмб ч рбтбммемшопн тецйне й ртпзтбннйтпчбмбуш рпутедуфчпн лпннхфбгйпоопк рбоемй. Менет хуфбопчйм фблпк тецйн, ртй лпфптпн упдетцйнпе пдопзп йъ ухннбфптпч \picture{Тйу.~5. Теъхмшфбфщ ртйнеоеойс ЛУ-лтйфетйс л фен це дбоощн, юфп й об тйу.~2.} рпуфпсооп хнопцбмпуш об~$23$ рп нпдхма~$10^8+1$; упдетцйнпе ухннбфптб йънеосмпуш лбцдще оеулпмшлп нйлтпуелход. Нопцйфемш~$23$ умйылпн нбм, юфпвщ фблха рпумедпчбфемшопуфш нпцоп вщмп уюйфбфш умхюбкопк: лпттемсгйс нецдх умедхаэйнй оерпутедуфчеооп дтхз ъб дтхзпн юйумбнй ртй фблпн нопцйфеме умйылпн чемйлб. Оп ртпнецхфпл чтенеой нецдх пвтбэеойснй л ухннбфптх, упдетцбэенх умхюбкопе юйумп, вщм утбчойфемшоп чемйл й, лтпне фпзп, чуе чтенс неосмус. Фбл юфп жблфйюеулй нопцйфемш вщм тбчео~$23^k$, зде~$k$---впмшыпе, йънеосаэееус юйумп!) \section {C. Йуфптйс, вйвмйпзтбжйс й фептйс}. Лтйфетйк~$\chi^2$ вщм ртедмпцео Лбтмпн Рйтупопн ч 1900~з. ({\sl Philosophical Magazine,\/} Series~5, {\bf 50}, 157--175). Ьфб тбвпфб Рйтупоб уюйфбефус пдопк йъ пуопчпрпмбзбаэйи ч упчтенеоопк уфбфйуфйле, фбл лбл дп оее лбюеуфчп ьлуретйнеофбмшощи теъхмшфбфпч пртедемсмпуш ртпуфп рп фпнх, лбл пой чщзмсдсф об зтбжйле. Ч учпек уфбфше Рйтупо ртйчпдйф оеулпмшлп йофетеуощи ртйнетпч оертбчймшопзп йурпмшъпчбойс уфбфйуфйлй. %% 68 По рплбъбм фблце, юфп ч оелпфптщи умхюбси тхмефлб (об лпфптпк по ьлуретйнеофйтпчбм ч Нпофе-Лбтмп ч феюеойе дчхи оедемш ч 1892~з.) дбчбмб теъхмшфбфщ, обуфпмшлп дбмелйе пф утедойи ъобюеойк, юфп ртй ртбчймшопн хуфтпкуфче тхмефлй пой нпзмй вщ пухэеуфчйфшус ое юбэе, юен пдйо тбъ йъ~$10^{29}$. Пвэее пвухцдеойе лтйфетйс~$\chi^2$ й пвыйтобс вйвмйпзтбжйс упдетцбфус ч пвъптопк уфбфше Х.~Лплтьоб (W.~G.~Cochran, {\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 23} (1952), 315--345). Йъмпцйн ч уплтбэеоопн чйде фептйа, мецбэха ч пуопче лтйфетйс~$\chi^2$. Фпюобс четпсфопуфш фпзп, юфп~$Y_1=y_1$,~\dots, $Y_k=y_k$ тбчоб, лбл мезлп чйдефш, $$ {n! \over y_1! \ldots y_k!} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}. \eqno(17) $$ Еумй ртедрпмпцйфш, юфп $Y_s$~йнееф тбуртедемеойе Рхбуупоб у рмпфопуфша $$ {e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!} $$ й умхюбкоще чемйюйощ~$Y_s$ оеъбчйуйнщ, фп четпсфопуфш пухэеуфчмеойс ъобюеойк~$(y_1,~\ldots, y_k)$ тбчоб $$ \prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!}, $$ б ухннб~$Y_1+\cdots+Y_k$ вхдеф тбчоб~$n$ у четпсфопуфша $$ \sum_{ \scriptstyle y_1+\cdots+y_k=n \atop \scriptstyle y_1, \ldots, y_k \ge 0 }\prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}={e^{-n}n^n\over n!}. $$ Еумй рпфтевпчбфш упвмадеойс хумпчйс~$Y_1+\cdots+Y_k=n$, б ч \emph{пуфбмшопн} уюйфбфш умхюбкоще чемйюйощ оеъбчйуйнщнй, фп четпсфопуфш фпзп, юфп~$(Y_1,~\ldots, Y_k)=(y_1,~\ldots, y_k)$, вхдеф тбчоб $$ \left(\prod_{1\le s\le k} {e^{np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}\right) \bigg/ \left({e^{-n}n^n\over n!}\right), $$ юфп упчрбдбеф у~(17). \emph{Нпцоп, умедпчбфемшоп, уюйфбфш, юфп умхюбкоще чемйюйощ~$Y$ йнеаф тбуртедемеойе Рхбуупоб й оеъбчйуйнщ, у едйоуфчеоощн пзтбойюеойен, юфп йи ухннб жйлуйтпчбоб.} Пвпъобюйн $$ Z_s={Y_s-np_s \over \sqrt{np_s}},\quad V=Z_1^2+\cdots+Z_k^2. \eqno(18) $$ Хумпчйе~$Y_1+\cdots+Y_k=n$ нпцоп ъбрйубфш ч чйде $$ \sqrt{p_1}Z_1+\cdots+\sqrt{p_k}Z_k=0. \eqno(19) $$ %% 70 Тбуунпфтйн $(k-1)\hbox{-нетопе}$ ртпуфтбоуфчп~$S$ челфптпч~$(Z_1,~\ldots, Z_k)$, дмс лпфптщи чщрпмосефус хумпчйе~(19). Ртй впмшыйи ъобюеойси~$n$ умхюбкоще чемйюйощ~$Z_s$ ртйвмйъйфемшоп оптнбмшощ (ун.~хрт.~1.2.10-16), фбл юфп четпсфопуфш чщвптб фпюлй, ртйобдмецбэек ьменеофбтопнх пвRенх~$dZ_2~\ldots{} dZ_k$ ч~$S$ \emph{ртйвмйцеооп} ртпрптгйпобмшоб~$\exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)$. (Йнеооп ьфпф нпнеоф ч чщчпде ртйчпдйф л фпнх, юфп лтйфетйк~$\chi^2$ счмсефус мйыш брртплуйнбгйек, уртбчедмйчпк дмс впмшыйи~$n$.) Феретш четпсфопуфш фпзп, юфп~$V\le v$, тбчоб $$ {\displaystyle\int_{\scriptstyle (Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ ч } S\atop\scriptstyle\hbox{ й } Z_1^2+\cdots+Z_k^2\le v} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)\,dz_2\ldots dz_k \over \displaystyle\int_{(Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ ч } S} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2) \,dz_2\ldots dz_k }. \eqno(20) $$ Фбл лбл рмпулпуфш~(19) ртпипдйф юетеъ обюбмп лпптдйобф ч $k\hbox{-нетопн}$ ртпуфтбоуфче, йофезтйтпчбойе ч ъобнеобфеме ртпчпдйфус рп пвRенх ужетщ ч $(k-1)\hbox{-нетопн}$ ртпуфтбоуфче у геофтпн ч обюбме лпптдйобф. Ртепвтбъпчбойен л пвпвэеоощн рпмстощн лпптдйобфбн у тбдйхупн~$\chi$ й хзмбнй~$\omega_1$,~\dots, $\omega_{k-2}$ жптнхмб~(20) ртйчпдйфус л чйдх $$ {\displaystyle\int_{\chi^2 \le v} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1,~\ldots, \omega_{k-2}) \, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2} \over \displaystyle\int e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1, \ldots, \omega_{k-2})\, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2} }; $$ жхолгйс~$f$ пртедемеоб ч хрт.~15. Ртй йофезтйтпчбойй рп хзмбн~$\omega_1$,~\dots, $\omega_{k-2}$ ч юйумйфеме й ъобнеобфеме рпсчмсефус нопцйфемш, об лпфптщк нпцоп уплтбфйфш. Ч лпоге лпогпч рпмхюбефус жптнхмб $$ {\displaystyle\int_0^{\sqrt{v}} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\, d\chi \over \displaystyle\int_0^\infty e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\,d\chi }, \eqno(21) $$ ртйвмйцеооп ртедуфбчмсаэбс четпсфопуфш фпзп, юфп~$V\le v$. Ч ьфпн чщчпде тбдйху пвпъобюео юетеъ~$\chi$, лбл ч птйзйобмшопк тбвпфе Рйтупоб; пфуадб лтйфетйк~$\chi^2$ й рпмхюйм учпе объчбойе. Рпдуфбчмсс~$t=\chi^2/2$, нпцоп чщтбъйфш йофезтбмщ юетеъ оерпмоха збннб-жхолгйа, лпфптбс хце йурпмшъпчбмбуш ч р.~1.2.11.3: $$ \lim_{n\to\infty} P\{V\le v\}=\gamma\left({k-1\over 2}, {v\over2}\right)\bigg/\Gamma\left({k-1\over 2}\right). \eqno(22) $$ Фблпчп пртедемеойе тбуртедемеойс~$\chi^2$ у $(k-1)$~уфереоснй учпвпдщ. %% 71 Ретекден феретш л ЛУ-лтйфетйа. Ч 1933~з.\ Б.~О.~Лпмнпзптпч ртедмпцйм лтйфетйк, пуопчбоощк об уфбфйуфйле $$ K_n=\sqrt{n}\max_{-\infty=U_0, U_1, U_2, \ldots\,, \eqno(1) $$ лпфптще дпмцощ вщфш тбуртедемеощ тбчопнетоп нецдх охмЈн й едйойгек. Оелпфптще феуфщ ртедобъобюеощ ч ретчха пюетедш дмс ртпчетлй гемпюйумеоощи рпумедпчбфемшопуфек, б ое рпумедпчбфемшопуфек декуфчйфемшощи юйуем фйрб~(1). Ч ьфпн умхюбе ртпчетле рпдчетзбефус чурпнпзбфемшобс рпумедпчбфемшопуфш $$ \=Y_0, Y_1, Y_2, \ldots\,, \eqno(2) $$ лпфптбс пртедемсефус умедхаэйн пвтбъпн: $$ Y_n=\floor{d U_n}. \eqno(3) $$ Чипдсэйе ч ьфх рпумедпчбфемшопуфш гемще юйумб тбуртедемеощ тбчопнетоп нецдх~$0$ й~$d-1$, еумй юйумб~(1) тбуртедемеощ тбчопнетоп нецдх~$0$ й~$1$. Ъобюеойе~$d$ нпцеф вщфш мавщн; обртйнет, об нбыйое, тбвпфбаэек ч дчпйюопк уйуфене, нпцоп чщвтбфш~$d=64=2^6$; фпздб~$Y_n$ вхдхф пртедемсфшус ыеуфша обйвпмее ъобюйнщнй тбътсдбнй ч дчпйюопн ртедуфбчмеойй~$U_n$. Юфпвщ феуф вщм ртедуфбчйфемшощн, ъобюеойе~$d$ дпмцоп вщфш дпуфбфпюоп впмшыйн, оп ое умйылпн, юфпвщ ртй тебмйъбгйй феуфб об нбыйое ое чпъойлбмп ъбфтхдоеойк. Ччедеооще ъдеуш пвпъобюеойс~$U_n$, $Y_n$ й~$d$ вхдхф йурпмшъпчбфшус ч дбоопн тбъдеме оепдоплтбфоп. Ъобюеойе~$d$ нпцеф вщфш тбъощн ч тбъощи феуфби. \section{A.~Ртпчетлб тбчопнетопуфй (ртпчетлб юбуфпф)}. Ретчпе фтевпчбойе, ртедRсчмсенпе л рпумедпчбфемшопуфй~(1), ъблмаюбефус ч фпн, юфпвщ юйумб~$U_n$ вщмй декуфчйфемшоп тбчопнетоп тбуртедемеощ нецдх охмен й едйойгек. Ртпчетйфш тбчопнетопуфш нпцоп дчхнс урпупвбнй: (a)~у~рпнпэша лтйфетйс Лпмнпзптпчб---Унйтопчб, чъсч~$F(x)=x$ ртй~$0\le x \le 1$; (b)~чщвтбфш лблпе-ойвхдш хдпвопе ъобюеойе~$d$, обртйнет~$100$, об нбыйое, тбвпфбаэек ч деусфйюопк %% 76 уйуфене, мйвп~$64$ й~$128$ об нбыйое, тбвпфбаэек ч дчпйюопк уйуфене, рпуме юезп йурпмшъпчбфш рпумедпчбфемшопуфш~(2) чнеуфп~(1). Ъбфен дмс лбцдпзп гемпзп~$r$, $0\le r < d$, рпдуюйфбфш юйумп ъобюеойк~$Y_j=r$ ртй~$0 \le j < n$ й ртйнеойфш лтйфетйк~$\chi^2$ у~$k=d$ й четпсфопуфснй~$p_s=1/d$. Пвпуопчбойе пвпйи рпдипдпч нпцоп обкфй ч ртедщдхэен тбъдеме. \section{B.~Ртпчетлб уетйк}. Ртпчетсефус тбчопнетопуфш й оеъбчйуйнпуфш рбт умедхаэйи дтхз ъб дтхзпн умхюбкощи юйуем. Дмс ьфпзп рпдуюйфщчбефус, улпмшлп тбъ чуфтеюбефус лбцдбс рбтб~$(Y_{2j}, Y_{2j+1})=(q, r)$ ртй~$0 \le j < n$. Чемйюйощ~$q$ й~$m$ нпзхф ртйойнбфш мавще ъобюеойс пф~$0$ дп~$d$. Ъбфен ртйнеосефус лтйфетйк~$\chi^2$ у юйумпн лбфезптйк~$k=d^2$ й тбчощнй четпсфопуфснй~$1/d^2$ чп чуеи лбфезптйси. Ъобюеойе~$d$ чщвйтбефус йъ феи це уппвтбцеойк, юфп й ч ртедщдхэен феуфе, оп ч дбоопн умхюбе поп дпмцоп вщфш оеулпмшлп неошые, фбл лбл ртйнеосфш лтйфетйк~$\chi^2$ умедхеф ртй ъобюеойси~$n$, ухэеуфчеооп ртечщыбаэйи~$k$ (улбцен, рп лтбкоек нете ртй~$n>5d^2$). Пюечйдоп, юфп нпцоп пвпвэйфш ьфпф феуф об фтпклй, юефчетлй й~ф.~д.\ (ун.~хрт.~2); пдоблп ъобюеойс~$d$ дпмцощ вщфш ртй ьфпн теълп хнеошыеощ, юфпвщ юйумп лбфезптйк ое рпмхюбмпуш умйылпн впмшыйн. Рпьфпнх ртй пвRедйоеойй юефщтеи й впмее ьменеофпч йурпмшъхафус неоее фпюоще феуфщ, фблйе, лбл "обйвпмшыее йъ~$t$" ймй ртпчетлб лпнвйобгйк (пой вхдхф прйубощ ойце). Пфнефйн, юфп ч ьфпн феуфе ч $n$~йурщфбойси йурпмшъхефус $2n$~юйуем рпумедпчбфемшопуфй~(2). Вщмп вщ пыйвлпк упуфбчмсфш ч дбоопн умхюбе рбтщ~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$; рпосфоп мй юйфбфема, рпюенх? Дмс рбт~$(Y_{2j+1}, Y_{2j+2})$ нпцоп вщмп вщ упуфбчйфш урегйбмшощк феуф й ртпчетсфш лбцдха рпумедпчбфемшопуфш у рпнпэша пвпйи феуфпч. У дтхзпк уфптпощ, лбл рплбъбм Зхд, ({\sl Annals af Mathematical Statistics,\/} {\bf 28}, (1957), 262--264), еумй~$d$---ртпуфпе юйумп, йурпмшъхафус рбтщ~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$ й у рпнпэша пвщюопзп $\chi^2\hbox{-нефпдб}$ чщюйумсафус лбл уфбфйуфйлб~$V_2$, уппфчефуфчхаэбс ртпчетле уетйк, \emph{фбл й} уфбфйуфйлб~$V_1$ дмс ртпчетлй тбчопнетопуфй~$Y_0$, $Y_1$,~\dots, $Y_{n-1}$ у пдойн й фен це ъобюеойен~$d$, фп ртй впмшыйи~$n$ тбъопуфш~$V_2-2V_1$ вхдеф йнефш тбуртедемеойе~$\chi^2$ у $(d-1)^2$~уфереоснй учпвпдщ, ипфс~$V_2$ ч дбоопн умхюбе йнееф тбуртедемеойе, \emph{пфмйюопе} пф тбуртедемеойс~$\chi^2$ у $d^2-1$~уфереоснй учпвпдщ. \section{C.~Ртпчетлб йофетчбмпч}. Ч ьфпн феуфе ртпчетсефус дмйоб йофетчбмпч нецдх рпсчмеойснй ъобюеойк~$U_j$, ртйобдмецбэйи оелпфптпнх ъбдбоопнх пфтеълх. Еумй~$\alpha$ й~$\beta$---дчб декуфчйфемшощи юйумб, ртйюен~$0\le\alpha<\beta\le 1$, фп рпдуюйфщчбафус дмйощ рпумедпчбфемшопуфек~$U_j$, $U_{j+1}$,~\dots, $U_{j+r}$, ч лпфптщи фпмшлп~$U_{j+r}$ %% 77 мецйф нецдх~$\alpha$ й~$\beta$. (Фблбс рпумедпчбфемшопуфш йъ $r+1$~юйуем пртедемсеф йофетчбм дмйощ~$r$.) \alg G.(Чщюйумеойе дмйо йофетчбмпч.) Умедхаэйк бмзптйфн рпъчпмсеф пртедемйфш юйумп йофетчбмпч дмйощ~$0$, $1$,~\dots, $t-1$ й рпмопе юйумп йофетчбмпч впмшыек дмйощ~($\ge t$) ч рпумедпчбфемшопуфй~(1). Тбуюеф ртпдпмцбефус дп феи рпт, рплб ое вхдеф ъбтезйуфтйтпчбоп чуезп $n$~йофетчбмпч. \picture{ Тйу~ 6. Тебмйъбгйс ртпчетлй йофетчбмпч (рпдпвоще бмзптйфнщ ртйнеосафус й ртй тебмйъбгйй феуфпч упвйтбфемс лхрпопч й ртпчетлй об нпопфпоопуфш). } \st[Обюбмшобс хуфбопчлб.] Хуфбопчйфш~$j\asg -1$, $s\asg 0$, б фблце~$|COUNT|[r]\asg 0$ дмс~$0\le r \le t$. \st[$r=0$.] Хуфбопчйфш~$r\asg0$. \st[$\alpha \le U_j < \beta$?] Хчемйюйфш~$j$ об~$1$. Еумй~$U_j\ge\alpha$ й~$U_j<\beta$, ретекфй об~\stp{5}. \st[Хчемйюйфш~$r$.] Хчемйюйфш~$r$ об едйойгх, ъбфен четохфшус об~\stp{3}. \st[Тезйуфтбгйс дмйощ йофетчбмб.] (Пвобтхцео йофетчбм дмйощ~$r$.) Ртй~$r\ge t$ ртйвбчйфш~$1$ л~$|COUNT|[t]$, ч ртпфйчопн умхюбе ртйвбчйфш~$1$ л~$|COUNT|[r]$. \st[Пвобтхцеоп $n$~йофетчбмпч?] Ртйвбчйфш~$1$ л~$s$. Еумй~$s0$, четохфшус об~\stp{2}. \st[Чщюйумеойе~$f$.] Йулпнпе ъобюеойе жхолгйй пртедемйфш рп жптнхме $$ \eqalignno{ f&=C[t]+tC[t-1]+t(t-1)C[t-2]+\cdots+t!C[1]=\cr &=(\ldots((C[1]\times2+C[2])\times3+C[3])\times4+\cdots+C[t-1])\times t+C[t]. \endmark & (7)\cr } $$ \algend Бмзптйфн рпуфтпео фблйн пвтбъпн, юфп $$ 0\le C[r]X_{j+1}$, рпмхюйн $$ \vert 1\, 2\, 9 \vert 8 \vert 5 \vert 3\, 6\, 7 \vert 0\, 4 \vert. \eqno (9) $$ Ъдеуш чщдемеощ чуе оехвщчбаэйе рпдрпумедпчбфемшопуфй: ретчбс дмйощ~3, ъбфен дче рп~1, еэе пдоб дмйощ~3 й ъбфен~2. Бмзптйфн ч хрт.~12 рплбъщчбеф, лбл фбвхмйтпчбфш дмйощ фблйи пфтеълпч. %% 82 Ч пфмйюйе пф феуфб упвйтбфемс лхрпопч ймй ртпчетлй йофетчбмпч (лпфптще чп нопзйи пфопыеойси рпипцй об ьфпф феуф) ч дбоопн умхюбе \emph{ое умедхеф ртйнеосфш лтйфетйк~$\chi^2$ дмс бобмйъб рпмхюеоощи дбоощи,} фбл лбл пой \emph{ое счмсафус} оеъбчйуйнщнй. Рпуме дмйоопзп пфтеълб юбэе рпсчмсефус лптпфлйк й обпвптпф. Йъ-ъб пфухфуфчйс оеъбчйуйнпуфй ртснпе ртйнеоеойе лтйфетйс~$\chi^2$ уфбопчйфус оеъблпоощн. Чнеуфп ьфпзп, рпуме пртедемеойс дмйо пфтеълпч у рпнпэша бмзптйфнб, прйубоопзп ч хрт.~12, чщюйумсефус уфбфйуфйлб $$ V={1\over n}\sum_{1\le i, j \le 6} (|COUNT|[i]-nb_i)(|COUNT|[j]-nb_j)a_{ij}, \eqno(10) $$ зде лпьжжйгйеофщ~$a_{ij}$ й~$b_i$ фблпчщ: $$ \eqalign{ \pmatrix{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16}\cr a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26}\cr a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36}\cr a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46}\cr a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56}\cr a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66}\cr }&= \pmatrix{ 4529.4 & 9044.9 & 13568 & 18091 & 22615 & 27892\cr 9044.9 & 18097 & 27139 & 36187 & 45234 & 55789\cr 13568 & 27139 & 40721 & 54281 & 67852 & 83685\cr 18091 & 36187 & 54281 & 72414 & 90470 & 11580\cr 22615 & 45234 & 67852 & 90470 & 113262 & 139476\cr 27892 & 55789 & 83685 & 111580 & 139476 & 172860\cr },\cr \pmatrix{ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 & b_6 \cr } &= \pmatrix{ 1\over 6 & 5\over 24 & 11\over 120 & 19 \over 720 & 29 \over 5040 & 1\over 840}.\cr } \eqno(11) $$ (Ъдеуш ртйчедеощ ртйвмйцеооще ъобюеойс лпьжжйгйеофпч; фпюоще ъобюеойс нпцоп чщюйумйфш рп ртйчедеоощн ойце жптнхмбн.) \emph{Уфбфйуфйлб~$V$ ч~(10) дпмцоб йнефш ртй впмшыйи~$n$ тбуртедемеойе~$\chi^2$ у ыеуфша {\rm (б ое рсфша)} уфереоснй учпвпдщ.} Ъобюеойе~$n$ дпмцоп вщфш тбчоп, улбцен, $4000$ ймй впмшые. Бобмпзйюощк феуф ртйнеосефус дмс оечпътбуфбаэйи пфтеълпч. Дпчпмшоп ртпуфпк й впмее ртблфйюощк урпупв ртпчетлй об нпопфпоопуфш ртйчедео ч хрт.~14, оп йъ юйуфп нбфенбфйюеулйи уппвтбцеойк рпмеъоее вхдеф тбъпвтбфш ьфпф чеушнб умпцощк феуф. Ртйуфхрйн л чщчпдх жптнхм дмс оезп. Рхуфш дмс дбоопк ретеуфбопчлй йъ $n$~ьменеофпч $Z_{pi}=1$, еумй у рпъйгйй~$i$ обюйобефус чпътбуфбаэйк пфтеъпл у дмйопк ое неоее~$p$, й~$Z_{pi}=0$ ч ртпфйчопн умхюбе. Ч лбюеуфче ртйнетб тбуунпфтйн рпумедпчбфемшопуфш~(9) у~$n=10$. Ч дбоопн умхюбе $$ Z_{11}=Z_{21}=Z_{31}=Z_{14}=Z_{15}=Z_{16}=Z_{26}=Z_{36}=Z_{19}=Z_{29}=1, $$ б чуе пуфбмшоще~$Z$ тбчощ~$0$. Фпздб $$ R'_p=Z_{p1}+Z_{p2}+\cdots+Z_{pn} \eqno(12 $$ %% 83 еуфш юйумп пфтеълпч дмйощ ое неоее~$p$, б $$ R_p=R'_p-R'_{p+1} \eqno(13) $$ еуфш юйумп пфтеълпч, дмйоб лпфптщи ч фпюопуфй тбчоб~$p$. Обн охцоп чщюйумйфш утедоее ъобюеойе~$R_p$, б фблце \dfn{лпчбтйбгйа}% \note{1}{Нщ пуфбчмсен пвпъобюеойс бчфптб дмс утедоезп, лпчбтйбгйй й ф.~р., умедхс ретечпдх 1-зп фпнб (ун.~р.~1.2.10).---{\sl Ртйн. ретеч.\/}} $$ \covar (R_p, R_q)=\mean ((R_p-\mean (R_p)) (R_q-\mean (R_q))), $$ лпфптбс умхцйф нетпк чъбйнпъбчйуйнпуфй~$R_p$ й~$R_q$. Хутедоеойе обдп ртпчпдйфш рп чуен чпънпцощн $n!$~ретеуфбопчлбн. Жптнхмщ~(12) й~(13) рплбъщчбаф, юфп йулпнще чемйюйощ нпцоп чщтбъйфш юетеъ утедойе ъобюеойс~$Z_{pi}$ й~$Z_{pi}Z_{qj}$, рпьфпнх ч лбюеуфче ретчпзп ыбзб ъбрйыен умедхаэйе уппфопыеойс (ч ртедрпмпцеойй, юфп~$i1$. Пфнефйн, юфп~$Z_{pi}Z_{qj}$ тбчоп мйвп~$0$, мйвп~$1$, фбл юфп ухннйтпчбойе учпдйфус л фпнх, юфпвщ ретеуюйфбфш чуе ретеуфбопчлй~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$, ч лпфптщи~$Z_{pi}=Z_{qj}=0$, б йнеооп $$ U_{i-1}>U_i<\ldotsU_{i+p}<\ldotsn$;\cr } & (18) \cr } $$ зде $t=\max(p,q)$, $s=p+q$ й $$ \eqalignno{ f(p, q, n) &= (n+1)\left({s(1-pq)+pq\over (p+1)!(q+1)!}-{2s\over (s+1)!}\right)+\cr &+2\left({s-1\over s!}\right)+{(s^2-s-2)pq-s^2-p^2q^2+1\over (p+1)!(q+1)!}. &(19)\cr } $$ Лпоеюоп, рпмшъпчбфшус фблйн умпцощн чщтбцеойен дмс лпчбтйбгйй пюеош оехдпвоп, оп дтхзпзп чщипдб оеф. У рпнпэша ьфйи жптнхм мезлп чщюйумйфш $$ \eqalign{ \mean(R_p)&=\mean(R'_p)-\mean(R'_{p+1}),\cr \covar (R_p, R'_q)&=\covar(R'_p, R'_q)-\covar(R'_{p+1}, R'_q),\cr \covar(R_p, R_q)&=\covar(R_p, R'_q)-\covar(R_p, R'_{q+1}).\cr } \eqno(20) $$ Ч тбвпфе Дц.~Чпмшжпчйгб ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} (1944), 163--165) дплбъбоп, юфп ртй~$n\to\infty$ тбуртедемеойе чемйюйо~$R_1$, $R_2$,~\dots, $R_{t-1}$, $R'_t$ уфтенйфус л оптнбмшопнх уп утедойн ъобюеойен й лпчбтйбгйек, ртйчедеоощнй чщые. Пфуадб умедхеф, юфп нпцоп рпмшъпчбфшус фблйн феуфпн. Дмс дбоопк рпумедпчбфемшопуфй йъ $n$~умхюбкощи юйуем чщюйумсефус~$R_p$---юйумп нпопфпоощи пфтеълпч дмйощ~$p$, зде~$1\le p < t$, б фблце~$R'_t$---юйумп пфтеълпч дмйощ~$\ge t$. Ччеден пвпъобюеойс $$ \eqalign{ Q_1&=R_1-\mean(R_1), \ldots, Q_{t-1}=R_{t-1}-\mean(R_{t-1}),\cr Q_t&=R'_t-\mean(R'_t).\cr } \eqno(21) $$ %% 85 Пвтбъхен нбфтйгх лпчбтйбгйк~$C$, пвпъобюбс, обртйнет, $C_{13}=\covar(R_1, R_3)$, фпздб лбл~$C_{1t}=\covar(R_1, R'_t)$. Ртй~$t=6$ рпмхюйн $$ \eqalign{ C&= nC_1+C_2=\cr &= n\pmatrix{ 23 \over 180 & -7 \over 360 & -5 \over 336 & -433 \over 60480 & -13 \over 5670 & -121 \over 181440 \cr -7 \over 360 & 2843 \over 20160 & -989 \over 20160 & -7159 \over 362880 & -10019 \over 1814400 & -1303 \over 907200 \cr -5 \over 336 & -989 \over 20160 & 54563 \over 907200 & -21311 \over 1814400 & -62369 \over 19958400 & -7783 \over 9979200 \cr -433 \over 60480 & -7159 \over 362880 & -21311 \over 1814400 & 886657 \over 39916800 & -257699 \over 239500800 & -62611 \over 239500800 \cr -13 \over 5670 & -10019 \over 1814400 & -62369 \over 19958400 & -257699 \over 239500800 & 29874811 \over 5448643200 & -1407179 \over 21794572800 \cr -121 \over 181440 & -1303 \over 907200 & -7783 \over 9979200 & -62611 \over 239500800 & -1407179 \over 21794572800 & 2134697 \over 1816214400 \cr }+\cr &+\pmatrix{ 83 \over 180 & -29 \over 180 & -11 \over 210 & -41 \over 12096 & 91 \over 25920 & 41 \over 18144 \cr -29 \over 180 & -305 \over 4032 & 319 \over 20160 & 2557 \over 72576 & 10177 \over 604800 & 413 \over 64800 \cr -11 \over 210 & 319 \over 20160 & -58747 \over 907200 & 19703 \over 604800 & 239471 \over 19958400 & 39517 \over 9979200 \cr -41 \over 12096 & 2557 \over 72576 & 19703 \over 604800 & -220837 \over 4435200 & 1196401 \over 239599800 & 360989 \over 239500800 \cr 91 \over 25920 & 10177 \over 604800 & 239471 \over 19958400 & 1196401 \over 239500800 & -139126639 \over 7264857600 & 4577641 \over 10897286400 \cr 41 \over 18144 & 413 \over 64800 & 39517 \over 9979200 & 360989 \over 239500800 & 4577641 \over 10897286400 & -122953057 \over 21794572800 \cr }.\cr } \eqno(22) $$ дмс~$n\ge 14$. Ъбфен обкден нбфтйгх~$A=(a_{ij})$, пвтбфоха нбфтйге~$C$, й чщюйумйн~$\sum_{1\le i,j \le t} Q_i Q_j a_{ij}$. Ртй впмшыйи~$n$ теъхмшфбф йнееф тбуртедемеойе~$\chi^2$ у~$t$~уфереоснй учпвпдщ. Ртйчедеообс тбоее нбфтйгб~(11)---теъхмшфбф пвтбэеойс нбфтйгщ~$C_1$, ртедуфбчмеоопк у рсфша ъобюбэйнй гйжтбнй. Ртй впмшыйи~$n$ нбфтйгб~$A$ вхдеф ртйвмйцеооп тбчоб~$(1/n)C_1^{-1}$. Дембмйуш рпрщфлй ъбрйубфш ьменеофщ нбфтйгщ, пвтбфопк л~$C_1$ лбл тбгйпобмшоще юйумб, оп ьфп ртйчпдймп л умйылпн впмшыйн чемйюйобн хце ртй~$t=4$. Ч юбуфопн умхюбе ртй~$n=1000$ ьменеофщ нбфтйгщ~(11) плбъбмйуш ртйнетоп об~1\% ойце фпюощи ъобюеойк, рпмхюеоощи ч теъхмшфбфе пвтбэеойс нбфтйгщ~(22). Уфбодбтфощк нефпд пвтбэеойс нбфтйг прйубо ч р.~2.2.6, хрт.~18. %%86 \section{H.~Феуф "обйвпмшыее йъ~$t$"}. Рхуфш~$V_j=\max(U_{tj}, U_{tj+1},~\ldots, U_{tj+t-1})$ ртй~$0\le j < n$. Ртйнеойн лтйфетйк Лпмнпзптпчб-Унйтопчб л рпумедпчбфемшопуфй~$V_0$, $V_1$,~\dots, $V_{n-1}$, ртйойнбс ч лбюеуфче фептефйюеулпк жхолгйй тбуртедемеойс~$F(x)=x^t$, ($0\le x \le 1$). Нпцоп чнеуфп ьфпзп ртпчетсфш об тбчопнетопуфш рпумедпчбфемшопуфш~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$. Дмс пвпуопчбойс ьфпзп феуфб дпуфбфпюоп рплбъбфш, юфп $V_j$~тбуртедемеощ ч уппфчефуфчйй у~$F(x)=x^t$. Четпсфопуфш фпзп, юфп~$\max(U_1, U_2,~\ldots, U_t)\le x$, тбчоб четпсфопуфй фпзп, юфп~$U_1\le x$ \emph{й}~$U_2\le x$ \emph{й}~\dots{} \emph{й}~$U_t\le x$; умедпчбфемшоп, поб тбчоб ртпйъчедеойа йодйчйдхбмшощи четпсфопуфек~$x\cdot x \cdot \ldots \cdot x = x^t$. \section{I.~Рпумедпчбфемшобс лпттемсгйс}. Чщюйумйн уфбфйуфйлх $$ C={n(U_0U_1+\cdots+U_{n-2}U_{n-1}+U_{n-1}U_0)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2 \over n(U_0^2+\cdots+U_{n-1}^2)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2}. \eqno(23) $$ Ьфп "лпьжжйгйеоф рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй", лпфптщк умхцйф нетпк ъбчйуйнпуфй~$U_{j+1}$ пф~$U_j$. Ртй пюеош впмшыйи~$n$ ухэеуфчхеф нефпд, рпъчпмсаэйк теълп хнеошыйфш чтенс, лпфптпе фтбфйфус об тбуюеф~$C$ (L.~P.~Schmid, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 115). Лпьжжйгйеофщ лпттемсгйй юбуфп хрпфтевмсафус ч уфбфйуфйле. Еумй йнеефус дчб обвптб чемйюйо~$U_0$, $U_1$,~\dots, $U_{n-1}$ й~$V_0$, $V_1$,~\dots, $V_{n-1}$, фп лпьжжйгйеоф лпттемсгйй нецдх ойнй пртедемсефус умедхаэйн пвтбъпн: $$ C={n\sum(U_j V_j)-(\sum U_j)(\sum V_j) \over \sqrt{(n\sum U_j^2 - (\sum U_j)^2) (n\sum V_j^2 - (\sum V_j)^2)}}. \eqno(24) $$ Ухннйтпчбойе ч ьфпк жптнхме ртпчпдйфус рп чуен~$j$ ч йофетчбме~$0\le j < n$. Жптнхмб~(23) рпмхюбефус ч юбуфопн умхюбе~$V_j=U_{(j+1)\bmod n}$. [\emph{Ъбнеюбойе.} Ъобнеобфемш чщтбцеойс~(24) тбчео охма ртй~$U_0=U_1=\cdots=U_{n-1}$ ймй~$V_0=V_1=\cdots=V_{n-1}$; нщ йулмаюбен ьфпф умхюбк йъ тбуунпфтеойс.) Лпьжжйгйеоф лпттемсгйй чуездб мецйф нецдх~$-1$ й~$+1$. Лпздб по тбчео охма ймй пюеош нбм, ьфп умхцйф хлбъбойен об оеъбчйуйнпуфш чемйюйо~$U_j$ й~$V_j$, б лпздб по тбчео~$\pm 1$, ьфй чемйюйощ учсъбощ дтхз у дтхзпн мйоекопк ъбчйуйнпуфша, ф.~е.\ дмс мавпзп~$j$ уртбчедмйчп тбчеоуфчп~$V_j=m \pm aU_j$ ртй оелпфптщи рпуфпсоощи~$a$ й~$m$ (ун.~хрт.~17). Фблйн пвтбъпн, цембфемшоп, юфпвщ ъобюеойе~$C$, пртедемеоопе жптнхмпк~(23), вщмп вмйълп л охма. Ч декуфчйфемшопуфй, йъ-ъб фпзп, юфп~$U_0U_1$ й~$U_1U_2$, лпоеюоп, ое счмсафус оеъбчйуйнщнй, лпьжжйгйеоф рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй ое дпмцео вщфш ч \emph{фпюопуфй} тбчео охма (ун.~хрт.~18). "Иптпыйн" нпцоп уюйфбфш ъобюеойе~$C$, мецбэее нецдх~$\mu_n-2\sigma_n$ й~$\mu_n+2\sigma_n$, зде $$ \mu_n={-1\over (n-1)}, \quad \sigma_n={1\over n-1}\sqrt{n(n-3)\over n+1}, \rem{$n>2$.} \eqno(25) $$ %% 87 Ъобюеойе~$C$ дпмцоп обипдйфшус ч ьфйи ртедемби ч 95\% чуеи умхюбеч. Жптнхмщ~(25) рплб йнеаф ртедрпмпцйфемшощк ибтблфет, фбл лбл фпюопе тбуртедемеойе~$C$ ч фпн умхюбе, лпздб $U$~тбуртедемеощ тбчопнетоп, оейъчеуфоп. Умхюбк оптнбмшопзп тбуртедемеойс чемйюйо~$U$ тбуунпфтео ч тбвпфе Х.~Дйлупоб ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} (1944), 119--144). Прщф рплбъщчбеф, юфп йурпмшъпчбойе жптнхм дмс нбфенбфйюеулпзп пцйдбойс й утедоелчбдтбфйюопзп пфлмпоеойс, уппфчефуфчхаэйи оптнбмшопнх тбуртедемеойа, ф.~е.~жптнхм~(25), ое ртйчпдйф л впмшыпк пыйвле. Йъчеуфоп, юфп~$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sigma_n=1$; ун.~фблце уфбфша Бодетупоб й Хплетб ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 35} (1964), 1296--1303), ч лпфптпк рпмхюеощ впмее пвэйе теъхмшфбфщ п рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй ч \emph{ъбчйуйнщи} рпумедпчбфемшопуфси. \section{J.~Ртпчетлб рпдрпумедпчбфемшопуфек}. Оетедлп чоеыосс ртпзтбннб хуфтпеоб фбл, юфп ек фтевхефус лбцдщк тбъ оелпфптпе пртедемеоопе лпмйюеуфчп умхюбкощи юйуем. Обртйнет, еумй ч ртпзтбнне еуфш фтй умхюбкоще чемйюйощ~$X$, $Y$ й~$Z$, дмс пртедемеойс йи ъобюеойк лбцдщк тбъ охцоп вхдеф зеоетйтпчбфш фтй умхюбкощи юйумб. Дмс фблйи ртймпцеойк чбцоп, юфпвщ умхюбкопк вщмб мавбс рпумедпчбфемшопуфш, рпмхюеообс ч теъхмшфбфе чщвптб лбцдпзп \emph{фтефшезп} юйумб йуипдопк рпумедпчбфемшопуфй. Еумй ртпзтбннб ъбртбыйчбеф лбцдщк тбъ $q$~юйуем, фп у рпнпэша феуфпч, прйубоощи чщые, нпцоп ртпчетсфш ое йуипдоха рпумедпчбфемшопуфш~$U_0$, $U_1$, $U_2$,~\dots, б ч пфдемшопуфй лбцдха йъ рпдрпумедпчбфемшопуфек $$ U_0, U_q, U_{2q}, \ldots; \quad U_1, U_{q+1}, U_{2q+1}, \ldots; \quad \ldots; \quad U_{q-1}, U_{2q-1},\ldots\,. \eqno(26) $$ Прщф рплбъщчбеф, юфп ртй йурпмшъпчбойй мйоекопзп лпозтхьофопзп нефпдб ибтблфетйуфйлй фблйи рпдрпумедпчбфемшопуфек ртблфйюеулй ойлпздб ое вщчбаф ихце, юен х йуипдопк рпумедпчбфемшопуфй, лтпне умхюбеч, лпздб~$q$ й юйумп, йурпмшъхенпе ч лбюеуфче нпдхмс, упдетцбф дпуфбфпюоп впмшыпк пвэйк нопцйфемш. Фбл, об нбыйоби у дчпйюопк бтйжнефйлпк ртй йурпмшъпчбойй ъобюеойк~$m$, тбчощи тбънетх умпчб, йъ чуеи~$q<16$ убнще рмпийе теъхмшфбфщ рпмхюбафус ртй~$q=8$; об нбыйоби у деусфйюопк бтйжнефйлпк нпцоп пцйдбфш оехдпчмефчптйфемшощи теъхмшфбфпч ртй~$q=10$. (Ьфп нпцоп пвRсуойфш пфюбуфй, йуипдс йъ рпосфйс нпэопуфй рпумедпчбфемшопуфй, фбл лбл фблйе ъобюеойс~$q$ вхдхф, чппвэе зпчптс, рпойцбфш ее нпэопуфш.) \section{K.~Ъбнеюбойс йуфптйюеулпзп ибтблфетб й дбмшоекыее пвухцдеойе}. Уфбфйуфйюеулйе лтйфетйй чпъойлбмй еуфеуфчеоощн пвтбъпн ч ртпгеууе %% 88 обхюопк тбвпфщ, лпздб рпсчмсмбуш оепвипдйнпуфш "ртйосфш" ймй "пфчетзохфш" лблха-мйвп зйрпфеъх, лбубаэхаус ьлуретйнеофбмшощи дбоощи. Мхюыйнй утедй тбвпф, рпучсэеоощи ртпчетле об умхюбкопуфш йулхууфчеоощи рпумедпчбфемшопуфек юйуем, счмсафус дче уфбфшй Н.~Леодбммб й~В.~Вьвйозфпо-Унйфб [{\sl Journal of the Royal Statistical Society,\/} {\bf 101} (1938), 147--166, й ртймпцеойе л ьфпнх цхтобмх, {\bf 6} (1939), 51--61]. Ч ьфйи тбвпфби прйубоб ртпчетлб умхюбкощи гйжт пф~$0$ дп~$9$, б ое декуфчйфемшощи умхюбкощи юйуем; дмс ьфпк гемй ртедмпцеощ ртпчетлб юбуфпф, уетйк, йофетчбмпч, б фблце рплет-феуф (ипфс ртпчетлб уетйк ртпйъчпдйфус оечетоп). Леодбмм й Вьвйозфпо-Унйф йурпмшъпчбмй фблце тбъопчйдопуфш феуфб упвйтбфемс лхрпопч, оп ч фпн чйде, лпфптщк прйубо ч дбоопк лойзе, ьфпф феуф вщм ртедмпцео Зтйочхдпн ч 1955~з. Феуф ртпчетлй нпопфпоопуфй йнееф дпчпмшоп йофетеуоха йуфптйа. Ретчпобюбмшоп ч оен тезйуфтйтпчбмйуш пдопчтенеооп дмйощ пфтеълпч лбл у чпътбуфбаэйнй, фбл й хвщчбаэйнй юйумбнй (ьфй пфтеълй юетедхафус). Умедхеф пфнефйфш, юфп ьфпф феуф, фбл це лбл ртпчетлб ретеуфбопчпл, ое фтевхеф, юфпвщ ъобюеойс~$U$ вщмй тбуртедемеощ тбчопнетоп; фтевхефус фпмшлп, юфпвщ четпсфопуфш фпзп, юфп~$U_i=U_j$, тбчосмбуш охма ртй~$i\ne j$, фбл юфп ьфй феуфщ нпцоп ртйнеосфш л нопзйн фйрбн умхюбкощи рпумедпчбфемшопуфек. Ч ртйнйфйчопк жптне ьфпф феуф чретчще вщм ртедмпцео ч тбвпфе [J.~Bienaynie, {\sl Comptes Rendus,\/} {\bf 81} (Paris: Acad.\ Sciences, 1875), 417--423]. Плпмп 60~меф урхуфс Летньл й Нбл-Леодтйл обрйубмй дче впмшыйе тбвпфщ, рпучсэеооще ьфпнх чпртпух [{\sl Proc.\ Royal Society Edinburgh,\/} {\bf 57} (1937), 228--240, 332--376]. Ч лбюеуфче ртйнетб ч ойи рплбъбоп у рпнпэша ртпчетлй об нпопфпоопуфш, юфп лпмевбойс лпмйюеуфчб пубдлпч ч Ьдйовхтзе ч ретйпд у~1785~з.\ рп~1930~з.\ опуймй умхюбкощк ибтблфет (ипфс пой йуумедпчбмй фпмшлп утедойе й уфбодбтфоще пфлмпоеойс пфтеълпч нпопфпоопуфй). У феи рпт ьфпф феуф ретйпдйюеулй йурпмшъпчбмус об ртблфйле, оп фпмшлп ч~1944~з.\ вщмп рплбъбоп, юфп ртйнеосфш езп ч упюефбойй у лтйфетйен~$\chi^2$ оемшъс. Ч тбвпфе Мечеоб й Чпмшжпчйгб [{\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} (1944), 58--69] вщмб ртйчедеоб ртбчймшобс жптнхмйтпчлб феуфб (у юетедхаэйнйус пфтеълбнй чпътбуфбойс й хвщчбойс) й хлбъбоб пыйвпюопуфш езп ретчпобюбмшопк жптнхмйтпчлй. Чбтйбоф феуфб, йъмпцеоощк ч дбоопк лойзе, лпздб бобмйъйтхафус дмйощ пфтеълпч ймй фпмшлп у чпътбуфбойен, ймй фпмшлп у хвщчбойен, обйвпмее хдпвео дмс тебмйъбгйй об чщюйумйфемшопк нбыйое, рпьфпнх жптнхмщ дмс дтхзйи чбтйбофпч ое ртйчпдсфус (ун.~пвъпт Barton~D.~E., Mallows~У.~L., {\sl Annals of Math.\ Statistics,\/} {\bf 36} (1965), 236--260]. Йъ чуеи прйубоощи ъдеуш феуфпч ртпчетлб юбуфпф й ртпчетлб рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй---убнще умбвще, ч фпн унщуме, юфп %% 89 ртй йурщфбойй у рпнпэша ьфйи феуфпч рпюфй чуе дбфюйлй умхюбкощи юйуем дбаф хдпчмефчптйфемшоще теъхмшфбфщ. Члтбфге фептефйюеулпе пвпуопчбойе ьфпзп вхдеф дбоп ч~\S~3.5 (ун.~хрт.~3.5-26). Л утбчойфемшоп уймшощн феуфбн пфопуйфус ртпчетлб об нпопфпоопуфш: теъхмшфбфщ хрт.~3.3.3-23, 24 рплбъщчбаф, юфп ртй оедпуфбфпюоп впмшыйи ъобюеойси~$m$ рпумедпчбфемшопуфй, рпмхюеооще у рпнпэша мйоекопзп лпозтхьофопзп нефпдб, йнеаф рпчщыеооха дмйох пфтеълпч нпопфпоопуфй, фбл юфп ьфпф феуф пртедемеооп рпмеъео. Четпсфоп, х юйфбфемс чпъойлбеф чпртпу: \emph{"Ъбюен фбл нопзп феуфпч?".} Нпцеф упъдбфшус чреюбфмеойе, юфп об йурщфбойс дбфюйлпч умхюбкощи юйуем фтбфйфус впмшые нбыйоопзп "чтенеой, юен об чщтбвпфлх умхюбкощи юйуем ч ртпгеууе теыеойс ртйлмбдощи ъбдбю! Ьфп оечетоп, ипфс умхюбй ютеънетопзп хчмеюеойс ртпчетлбнй чпънпцощ. Оепвипдйнпуфш дпуфбфпюоп тбъоппвтбъопзп обвптб феуфпч нопзплтбфоп пфнеюбмбуш ч мйфетбфхте. Ч юбуфопуфй, хлбъщчбмпуш, юфп рпумедпчбфемшопуфй, рпмхюеооще у рпнпэша оелпфптщи тбъопчйдопуфек нефпдб уетедйощ лчбдтбфб, иптпып ртпипдсф ртпчетлх юбуфпф, йофетчбмпч, лпнвйобгйк, оп плбъщчбафус упчетыеооп оезпдощнй ртй ртпчетле уетйк. Йъчеуфоп, юфп дбфюйлй, пуопчбооще об мйоекопн лпозтхьофопн нефпде, хдпчмефчптсаф ртй нбмщи ъобюеойси~$m$ нопзйн феуфбн, оп ое хдпчмефчптсаф ртпчетле об нпопфпоопуфш, фбл лбл дбаф умйылпн нбмп пфтеълпч едйойюопк дмйощ. Феуф "обйвпмшыее йъ~$t$" фблце рпъчпмсеф чщсчйфш рмпийе дбфюйлй, лпфптще уп чуеи дтхзйи фпюел ътеойс чедхф уевс чрпмое ртйенменп. Четпсфоп, пуопчобс ртйюйоб, рп лпфптпк оепвипдйнб чуеуфптпоосс ртпчетлб дбфюйлпч, ъблмаюбефус ч умедхаэен. Еумй лфп-фп рпмшъхефус юхцйн дбфюйлпн умхюбкощи юйуем, фп ртй мавпн оедптбъхнеойй по вхдеф чйойфш ьфпф дбфюйл, б ое учпа ртпзтбннх. Охцоп, юфпвщ бчфпт дбфюйлб нпз \emph{дплбъбфш,} юфп умхюбкоще юйумб хдпчмефчптсаф чуен фтевпчбойсн. У дтхзпк уфптпощ, еумй чщ рйыефе дбфюйл дмс уевс, б ое дмс пвэезп рпмшъпчбойс, нпцоп ое фтбфйфш уйм об езп ртпчетлх; чп чуслпн умхюбе, еумй ъб пуопчх чъсфш лблпк-мйвп йъ бмзптйфнпч, телпнеодпчбоощи ч ьфпк змбче, у впмшыпк четпсфопуфша ьфпф дбфюйл вхдеф чрпмое хдпчмефчптйфемшощн. \excercises \ex[10] Рпюенх ртй ртпчетле уетйк (ун.~р.~Ч) умедхеф йурпмшъпчбфш рбтщ~$(Y_0, Y_1)$ $(Y_2, Y_3)$,~\dots, $(Y_{2n-2}, Y_{2n-1})$, б ое~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$? \ex[10] Рплбцйфе, лбл пвпвэйфш ртпчетлх уетйк у рбт об фтпклй, юефчетлй й~ф.~д. \rex[Н20] Улпмшлп ч утедоен рпфтевхефус ретевтбфш ъобюеойк~$U$ ртй ртпчетле йофетчбмпч (бмзптйфн~G), ртецде юен вхдеф пвобтхцеоп $n$~йофетчбмпч, %% 90 ч ртедрпмпцеойй, юфп рпумедпчбфемшопуфш декуфчйфемшоп умхюбкобс? Лблпчп уфбодбтфопе пфлмпоеойе ьфпк чемйюйощ? \ex[12] Рплбцйфе, юфп ртй ртпчетле йофетчбмпч ъблпооп рпмшъпчбфшус четпсфопуфснй~(4). \ex[M23] Ртй "лмбууйюеулпк" ртпчетле йофетчбмпч, прйубоопк Леодбммпн й Вьвйозфпо-Унйфпн, $N$~ъобюеойк~$U$, рпдмецбэйи ртпчетле, йурпмшъхафус дмс рпуфтпеойс гйлмйюеулпк рпумедпчбфемшопуфй, ч лпфптпк $U_{N+j}$~упчрбдбеф у~$U_j$. Еумй $n$~юйуем йъ~$U_0$,~\dots, $U_{N-1}$ рпрбдбаф ч йофетчбм~$\alpha\le U_j < \beta$, фп ч гйлмйюеулпк рпумедпчбфемшопуфй йнеефус $n$~йофетчбмпч. Рхуфш~$Z_r$---юйумп йофетчбмпч дмйощ~$r$, еумй~$0\le rX_{j+1}$ пюетедопк пфтеъпл нпопфпоопуфй обюоефус у~$X_{j+2}$, фп дмйощ фблйи пфтеълпч вхдхф оеъбчйуйнщнй й нпцоп вхдеф чпурпмшъпчбфшус пвщюощн лтйфетйен~$\chi^2$ (чнеуфп чеушнб умпцопзп нефпдб, ртйчедеоопзп ч фелуфе). Лблйнй дпмцощ вщфш уппфчефуфчхаэйе четпсфопуфй дмйо пфтеълпч нпопфпоопуфй дмс ьфпзп хртпэеоопзп феуфб? \ex[M20] Рпюенх ъобюеойс~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$ ч феуфе "обйвпмшыее йъ~$t$" дпмцощ вщфш тбуртедемеощ тбчопнетоп нецдх охмен й едйойгек? \rex[15] (a)~Рхуфш фтевхефус ртпдембфш чщюйумеойс дмс феуфб "обйвпмшыее йъ~$t$" ртй тбъощи ъобюеойси~$t$. Пвпъобюйн~$Z_{jt}=\max (U_j, U_{j+1},~\ldots, U_{j+t-1})$. Уфхдеоф УнщымЈощк пвобтхцйм пуфтпхнощк урпупв ретеипдб пф рпумедпчбфемшопуфй~$Z_{0(t-1)}$, %% 91 $Z_{1(t-1)}$,~\dots{} л рпумедпчбфемшопуфй~$Z_{0t}$, $Z_{1t}$,~\dots, фтевхаэйк нйойнбмшощи чщюйумеойк. Рпртпвхкфе обкфй ьфпф урпупв. (b)~По це теыйм йънеойфш нефпд "обйвпмшыее йъ~$t$" фбл, юфпвщ~$V_j=\max(U_j,~\ldots, U_{j+t-1})$; дтхзйнй умпчбнй, $V_j=Z_{jt}$, б %% ?? Z_{(t_j)t} ое~$V_j=Z_{(tj)t}$, лбл хлбъбоп ч фелуфе. Ртй ьфпн по тбуухцдбм фбл: \emph{чуе} дпмцощ йнефш пдйоблпчпе тбуртедемеойе, рпьфпнх феуф дпмцео уфбфш фпмшлп уймшоее, еумй йурпмшъпчбфш чуе~$Z_{jt}$, $0\le j h$, ъбнеойфш~$c$ об~$c\bmod h$ у рпнпэша уппфопыеойс~(30) меннщ~C. {\sl Ыбз~5.\/}~Феретш упвмадеощ хумпчйс меннщ~B, фбл юфп йнеен $$ \sigma(h, k, c)=-3+{h\over k}+{k\over h}+{1+6c^2\over hk}-\sigma(k, h, c). \eqno (35) $$ Дмс пртедемеойс~$\sigma(k, h, c)$ четохфшус л ыбзх~1. Юйумп оепвипдйнщи йфетбгйк пвщюоп оечемйлп; рпумедпчбфемшоще ъобюеойс~$h$ й~$k$ чедхф уевс фбл це, лбл рпумедпчбфемшопуфш ъобюеойк, рпмхюбенбс ртй пртедемеойй у рпнпэша бмзптйфнб Ечлмйдб (ун.~р.~4.5.2) обйвпмшыезп пвэезп демйфемс~$h$ й~$k$. Тбуунпфтйн оеулпмшлп ртйнетпч. \proclaim Ртйнет~1. Обкфй лпьжжйгйеоф рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй дмс умхюбс~$m=2^{35}$, $a=2^{34}+1$, $c=1$. \solution Упзмбуоп~(17), йнеен $$ C=(2^{35}\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)-3+6(2^{35}-(2^{34}-1)-1))/(2^{70}-1). \eqno (36) $$ Чщрпмосс ыбзй~1 й~2, рпмхюбен $$ (\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)=-\sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1). $$ Упзмбуоп ыбзх~5: $$ \sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1)=-3+(2^{34}-1)/2^{35}+2^{35}/(2^{34}-1) +7/2^{35}(2^{34}-1)-\sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1). $$ Упзмбуоп ыбзх~1: $$ \sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1)=\sigma(2, 2^{34}-1, 1). $$ Феретш ыбз~5 дбеф $$ \sigma(2, 2^{34}-1, 1)=-3+2/(2^{34}-1)+(2^{34}-1)/2 +7/2(2^{34}-1)-\sigma(2^{34}-1, 2, 1) $$ й $$ \sigma(2^{34}-1, 2, 1)=0. $$ Ч теъхмшфбфе рпмхюбен, юфп $$ C={1\over 4}+\varepsilon, \rem{$\abs{\varepsilon}<2^{-67}$.} \eqno(37) $$ Фблбс лпттемсгйс, веъхумпчоп, оертйенменб. Лпоеюоп, ьфпф дбфюйл пвмбдбеф умйылпн нбмпк нпэопуфша; нщ хце пфчетзмй езп тбоее лбл оеумхюбкощк. \proclaim Ртйнет~2. Пртедемйфш ртйвмйъйфемшоп лпьжжйгйеоф рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй ртй~$m=10^{10}$, $a=10001$, $b=2113248658$. %% 100 \solution Фбл лбл~$C\approx \sigma(a, m,c)/m$, дембен умедхаэйе чщюйумеойс: \EQ[38]{ \eqalign{ \sigma(10001, 10^{10}, 2113248653) &= \sigma(10001, 10^{10}, 7350)-6(211303)(7886743997)/10^{10};\cr \sigma(10001, 10^{10}, 7350)&\approx -3+10^{10}/10001-\sigma(10^{10}, 10001, 7350);\cr \sigma(10^{10}, 10001, 7350)&=\sigma(100, 10001, 7350)=\cr &=\sigma(100, 10001, 50)-6(73)(2601)/10001;\cr \sigma(100, 10001, 50)&\approx -3+10001/100+100/10001-\sigma(10001, 100, 50);\cr \sigma(10001, 100, 50)&=\sigma(1, 100, 50)=-50,02.\cr C&\approx(-3+999900,01-97,02-50,02+113,91-99895,60)/10^{10}=\cr &=-0,000000003172.\cr } } Фблпе ъобюеойе~$C$, лпоеюоп, хдпчмефчптсеф мавщн фтевпчбойсн. Оп нпэопуфш ьфпзп дбфюйлб тбчоб чуезп~$3$, \emph{фбл юфп, оеунпфтс об пфухфуфчйе рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй, езп оемшъс уюйфбфш иптпыйн йуфпюойлпн умхюбкощи юйуем.} Пфухфуфчйе лпттемсгйй--- оепвипдйнпе, оп ое дпуфбфпюопе хумпчйе! \proclaim Ртйнет~3. Пгеойфш рпумедпчбфемшоха лпттемсгйа ртй мавщи~$a$, $m$, $c$. Ретчха жбъх ртйчедеоощи чщые тбуюефпч нпцоп ртпдембфш ч пвэен чйде. Рхуфш~$c_0=c\bmod a$. $$ \eqalignno{ \sigma(a, m, c)&=\sigma(a, m, c_0)+{6(c-c_0)\over am}(c+c_0-m)=\cr &=-3+{a\over m}+{m\over a}+{1\over am}+{6c^2\over am}-{6(c-c_0)\over a}-\sigma(m, a, c_0).&(39)\cr } $$ Упзмбуоп хрт.~12, $\abs{\sigma(m, a, c_0)}